2013年2月13日 星期三

重力位能─地表近似及通式


     在「地表附近」的重力位能 U=mgh,但是高中課本,又有寫到重力位能是 U=-GMm/r ,其中G是萬有引力常數、Mm是兩物體的質量、r是物體和地表之間的距離。兩個式子為什麼長相差這麼多呢?因為重力位能的大小,取決於零位面(也就是定義位能為零的面)的位置,若物體在零位面以外,位能就大於零;反之,位能就會小於零。重力位能 U=-GMm/r的零位面定義在距離地表「無限遠」的地方。也就是說,所有的點,都包含在一個距離我們「無限遠」的球面中,就代表位能會是負值,若是距離越來越大,趨近於無窮大時,位能會接近於零(因為越來越靠近零位面)。也可以從數學的觀點來看,U=-GMm/r 是代表U -r 成反比,所以圖形是一條雙曲線,在第四象限,並且以x,y軸為漸進線(x軸代表距離、y軸代表位能)。從圖形也不難看出,y一直都為負值,且當x趨近於無窮大,y會趨近於零。

    那麼 U=mgh 又是為什麼出現呢?其實這是 U=-GMm/r在地表附近的近似,詳細計算過程:





















所以地表附近的重力位能可以寫為U=mgh

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