半圓形的質心

半圓形的質心
    在求半圓形的質心之前，先講一下什麼是「質心」。質心，就是描述一個物體的時候，將它想像成一個點來做計算──舉例來說，如果有一條鐵鍊被往上拋，大家都知道它的軌跡是拋物線。可是，一整條鐵鍊在空中不規則地扭動，究竟是哪一點做拋物線運動呢？為了簡化這個極其複雜物體的運動，我們把這條不規則的鐵鍊想像成一個點，而重力也是作用於此點上。如此一來，我們就把討論「物體」的運動，簡化成討論「質點」的運動了。
    講完了質心的概念，就來講它的定義吧
若有N個質點，質量分別為m₁.m₂.....m_N，而其位置分別為(x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂)...... (x_N,y_N,z_N)，則定義這N個質點的質心座標：

，則質心座標：

因為再來要做的形狀質心，都是密度均勻的且在平面上，故可將積分式中「密度」項約掉，並且將三重積分(dV) 改為二重積分(dA)。


※正式求解半圓形質心※

《方法一》 用直角坐標積分：

因為這個半圓形左右對稱，所以只需考慮質心y座標。
直接利用質心座標定義：

此即半圓形質心y座標 〈距離圓心之距離〉

《方法二》 用極座標積分：

相同的辦法，因為半圓上下對稱，所以質心座標之θ_CM= 0，故只需求出r_CM：

再次導出了正確的結果。

《方法三》 用圓弧的質心：
※先備知識：一個張角2α、半徑為R的圓弧，質心距離圓心(Rsinα)/α
那麼，我們可以把半圓形切成很多個小扇形，當我們切到非常細的時候，每個小扇形就近似成一個小三角形(即忽略弦和弧之間的部分)。而三角形的重心位在中線上，且距離頂點三分之二中線長之處。然後，把每個小三角形的重心連線會得到一個弧，此弧之重心就是這個半圓形的重心。

再次得到正確的結果。

《方法四》 用Pappus–Guldinus theorem：
這是最後一個方法，也是手法最精妙的一個。
上篇文章介紹了這個定理，這次就來實際應用。
※Pappus–Guldinus theorem：旋轉體體積=旋轉物面積*重心路徑長※

p.s.寫到這裡還是不免離題一下，有些人問過我說這些圖片都是哪來的？事實上，這些都是我用powerpoint畫出來的~ 像是這張圖就花了快半小時……

簡單俐落，結果就出來了。看來這個看似奇怪的定理有時也非常有用的~

那這篇文章就到這裡結束，希望大家喜歡，也請期待我下一篇作品！