簡諧運動 part1

 簡諧運動（Simple Harmonic Motion , SHM），是自然界最簡單，最諧調的振動，所以稱之為「簡諧運動」。簡諧運動可以是為一個圓周運動對x（或是y）軸上的投影。簡諧運動有些比較常見的：彈簧的振動、水的上下震動、U形管的振盪、圓周運動投影、單擺小角度擺動等，都是常見的簡諧運動。

    簡諧運動若以圓周運動投影到x軸來看，可以寫出三條方程式

x(t)=Rcos(ωt+ψ)

v(t)=-Rωsin(ωt+ψ)

a(t)=-Rω²cos(ωt+ψ)

（R為振幅、ω為圓周運動的角速度、t為經過的時間、ψ為初始角度）

先說明x(t)怎麼出來的：

    參考圖片，若紅色的圓點沿著圓周作等速率運動，投影到x軸上。當紅點移動了θ的角度，在x軸上的投影為 Rcosθ，但是我們希望以時間做變數，所以用角位移的定義：Δθ=ωt，代換掉θ，就變成了x=Rcos(ωt)。那麼公式中的ψ又是哪裡來的呢？如果這個圓點不是乖乖從水平處（x軸上）開始運動，而是一開始就先有偏離x軸ψ的角度，那麼就要把轉動的角位移（ωt），在加上原本的初始角度ψ。於是我們就推導出來了，x(t)=Rcos(ωt+ψ)

那麼還有v(t)跟a(t)要怎麼辦呢？

    第一種方法，可以用一點數學，用速度和加速度的定義──速度是位移函數的微分；加速度是速度函數的微分，就可以導出來了。

v(t)=dx/dt=d/dt[ Rcos(ωt+ψ)]=-Rωsin(ωt+ψ)

a(t)=dv/dt=d/dt[Rωsin(ωt+ψ)]=-Rω²cos(ωt+ψ)

用一點數學技巧就得出來，速度和加速度函數的公式。

    但是，有沒有更直觀的、不需靠那麼抽象的數學的方法呢？事實上是有的，

我們剛剛已經用圓周運動投影的圖，來導出了位移函數的公式了。現在一樣用圓周運動的投影圖，來導出速度及加速度函數：

速度函數：

利用圓周運動的切線速度公式：v=Rω ，再求出v的x分量，就是v在x軸上的投影了。當圓點偏離x軸θ的角度後，用幾何可得，速度方向和y軸夾角亦為θ，故可得v的水平分量為vsinθ，向位移函數那樣，把θ變為ωt，在加上初始的角度ψ，就可以得出速度公式

v(t)=Rωsin(ωt+ψ)

加速度函數：

利用圓周運動的加速度公式：a=Rω² ，再求出a的x分量，就是a在x軸上的投影了。當圓點偏離x軸θ的角度後，用幾何可得，速度方向和x軸夾角為θ，故可得a的水平分量為acosθ，向位移函數那樣，把θ變為ωt，在加上初始的角度ψ，就可以得出加速度公式

a(t)=Rω²cos(ωt+ψ)