簡諧運動 part3

    再來就是簡諧運動的實例了。其實簡諧運動的實例太多了──圓周運動的投影、小擺角的單擺、U型管的液體震盪、水面浮體的上下移動、彈簧的振動……不勝枚舉，但是，我要在這裡介紹另一個比較特別的例子。

    兩個原子之間會有位能（蘭納─瓊斯勢，Lennard-Jones potential）存在，其位能和距離之間的函數圖形如下圖所示：

    這是拿Geogebra畫出來的圖片，輸入函數y=x^-12－x^-6，就是Lennard-Jones potential的函數曲線。觀察圖片會發現，當兩個原子很靠近，位能會遽升，而到某個點，會慢慢上升，一定距離以外，就幾乎為零了。

    把上圖微分，就可以得到分子間作用力與距離之間的函數關係圖：

     把位能函數微分，就會得到作用力的函數，觀察圖形會發現，跟位能一樣，原子之間的力也是距離很近時，大小快速增加，是負值的原因是在這麼近的距離內，是吸引力；而到了之後，就變成排斥力，但是距離越來越遠，力量就漸漸趨近於零了。

    講了這麼多，跟簡諧運動有甚麼關係呢？位能最小的時候（位能在下降的最低點，相對的，當時作用力為零，因為最低點的切線水平，故微分等於零），會對應到一個x值，也就是當時兩原子之間的距離。這時候，若把原子從這個穩定點（因為受力為零）移開一點點，再釋放，原子就會來回運動。為什麼呢？因為當兩原子距離較近時，會相排斥，回到力平衡點，又因為慣性，會再遠離一段距離，這時又變成吸引力，再把它吸回來，回到力平衡點……會呈現來回的規律運動。那我又要如何確定他是簡諧運動呢？簡諧運動的位能式：U=kx²/2 是一個拋物線，把這個拋物線平移，使其最低點和Lennard-Jones potential函數圖形的最低點重合，最後調整k值，就可以讓兩條曲線在最小值時互相近似。也就是說，Lennard-Jones potential曲線在位能最小的那一點，和簡諧運動的位能是相符的。另一方面，從原子受力的函數圖形來看，在受力為零的時候，也可以近似成y=kx，代表這也與簡諧運動的方程式相符。所以我們得到了另一個簡諧運動的例子，雖然肉眼無法直接看到，但是這種原子的震盪，的確是簡諧運動。

簡諧運動一系列的三篇文章，到此結束~