垂直圓周運動

上一篇轉動慣量的文章已經是半年前的事了......

很長一段時間沒有來寫了

這次我也寫了一篇比較長的文章

希望大家路過能停下來看看~

     

垂直圓周運動示意圖

        

鉛直面上的圓周運動，跟水平的圓周運動最大的不同在於，鉛直面上的運動會受到重力的影響，而水平面並沒有。因為有受到重力往下拉，所以自然不會是「等速率」圓周運動，根據力學能守恆，越往上面，速率越小，到最高點時速率最小。那麼，在最底部至少要有多快的速率，才有可能成功繞行一圈呢？

轉動慣量--球體的轉動慣量 (Moment of Inertia of a ball)

繼上次那篇轉動慣量的文章(http://m24639297.blogspot.tw/2013/03/blog-post.html)，這次來推導一顆轉軸通過中心的球的轉動慣量。這次的方法就是把球垂直轉軸切片，變成很多的圓，每一片圓的轉動慣量加起來就是整顆球的轉動慣量了。如圖所示：

單擺的週期

有幾個方法能求出擺角不大的單擺的週期，求出的答案都是一樣的，再此介紹三種方法：

方法一：直接利用簡諧運動來近似

這是單擺擺動時的示意圖，當角度不大時，那一段擺動的圓弧可以大約近似成直線，而當做一個簡諧運動來求解，而回復力也就是重力在切線方向（水平方向）的分量──mgsinθ。

而當角度不大時，sinθ ≈ x/l

而回復力 F=mgsinθ= mgx/l =kx

比較得 k= mg/l

帶入簡諧運動週期公式：T=2π√(m/k)= 2π√(ml /mg)= 2π√(l/g)

即為小幅度單擺週期的公式。

轉動慣量─圓盤、圓環及矩形

~有一段時間沒寫文章了，所以這次寫了一篇比較長的文章~

       轉動慣量，又稱做慣性矩，就是指物體「難以轉動」的程度。因此，轉動慣量越大，物體越難轉動；轉動慣量越小，物體就越易於轉動。質點繞著轉軸轉動的轉動慣量為：I=mr² (m是質點的質量，r為質點離轉軸的距離)。那麼如果是一個物體的轉動慣量怎麼辦呢？因為剛剛那是某一個質點的轉動慣量，物體是由很多很多的質點所組成的。所以，我們就把物體分成很多很多很小很小的部分，把每一個部份的質量，乘以那一小塊距離轉軸的距離，就是一小塊的轉動慣量，最後把所有的轉動慣量加起來就是答案了。

      

       當然，各種物體的轉動慣量網路上、書上都能找到結果與推導過程。而且各種立體只要能寫出方程式，取出轉軸就有公式能求出轉動慣量了。不過這次完全是靠我自己思考了許久想到的方法，就還是寫一篇文章跟大家分享一下。

重力位能─地表近似及通式

     在「地表附近」的重力位能 U=mgh，但是高中課本，又有寫到重力位能是 U=-GMm/r ，其中G是萬有引力常數、M和m是兩物體的質量、r是物體和地表之間的距離。兩個式子為什麼長相差這麼多呢？因為重力位能的大小，取決於零位面（也就是定義位能為零的面）的位置，若物體在零位面以外，位能就大於零；反之，位能就會小於零。重力位能 U=-GMm/r的零位面定義在距離地表「無限遠」的地方。也就是說，所有的點，都包含在一個距離我們「無限遠」的球面中，就代表位能會是負值，若是距離越來越大，趨近於無窮大時，位能會接近於零（因為越來越靠近零位面）。也可以從數學的觀點來看，U=-GMm/r 是代表U和 -r 成反比，所以圖形是一條雙曲線，在第四象限，並且以x,y軸為漸進線（x軸代表距離、y軸代表位能）。從圖形也不難看出，y一直都為負值，且當x趨近於無窮大，y會趨近於零。

利薩如曲線(Lissajous curve)的介紹與繪製

        利薩如曲線(Lissajous curve)是兩個互相垂直的正弦振動所造成的軌跡。一兩個方向的振動頻率不同，及初始相位角的差別，可以造出各種樣式的曲線。圖中是以頻率5:6，無相位角差所繪製。

利薩如曲線(引自維基百科)

      

正多邊形面積公式

   正多邊形，求出周長很簡單，那麼要如何求出它的面積呢？

    一個正n邊形，最長的n條對角線會交於一點，此點就是這個正n邊形的中心。把中心和各個頂點連接，就可以形成n個等腰三角形。求面積的方法就是算出一個小等腰三角形的面積，再把它乘以n，就是正n邊形的總面積了。

簡諧運動重出江湖──正式求解微分方程

    之前有三篇簡諧運動，其中第二篇講到解微分方程，有一部份算是「猜測」答案，這次，有正式求解的辦法，不過並不是用二階方程式的方法求解，是先做變數變換，再用一階方程的解法來求解的。

如何測量月球、地球之間的距離

    繼上次測量完地球質量，這次來講講地球、月球間的距離吧！方法一不是科學家們現在測量距離的方法，而是利用理論推算，算出來準確度也還不錯。我也會把科學家現在測量距離的方法補充在方法二。